大老李聊数学（全集）

一个带状矩阵的图示：不同宽度的随机带状矩阵下，随机带状矩阵本征向量的分量的图示：微信公众号：搜“大老李聊数学”知乎：搜level 10的“大老李”

三叶结，解结数是1，即翻转1个交叉点的绳子上下关系，可把纽结转换为平凡结：本次反例中的7个交叉点的环面纽结：15个交叉点，解结数为2的纽结：14个交叉点，解结数（最多）为5 的纽结：微信公众号：搜“大老李聊数学”知乎：搜level 10的“大老李”

关键字：英国开放大学（Open University UK）《十万好奇博物馆》，《寻秘自然》，大象点映。

Kaggle AI Olympics: https://www.kaggle.com/competitions/ai-mathematical-olympiad-prize陶哲轩的群体协作项目：https://terrytao.wordpress.com/2024/09/25/a-pilot-project-in-universal-algebra-to-explore-new-ways-to-collaborate-and-use-machine-assistance/BB(5)的值确定:https://m.thepaper.cn/newsDetail_forward_279472733维等宽形状:https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-shapes-to-solve-decades-old-geometry-problem-20240920/ Deepmind的AI取得了IMO银牌：https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/n^2+1的整数的最大质因子https://www.quantamagazine.org/big-advance-on-simple-sounding-math-problem-was-a-century-in-the-making-20241014/

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完美黑白棋下法，平局：最短2人中国跳棋，30步，蓝先红胜：5路围棋的一些正确和错误下法：微信公众号：搜“大老李聊数学”知乎：搜lv10的“大老李”

图厄——莫尔斯序列，构造规则：从0开始，把0替换成01；把1替换成10。它的前几项是：0， 01, 0110, 01101001, 0110100110010110, 01101001100101101001011001101001....它是“无立方”字符串，永不出现“AAA”模式。ABBA制 2016年年，国际足联（FIFA）曾经宣布引入新的互射十二码机制，由传统的轮流互射五轮，改为“ABBA”制，意即抽中先射的一支球队射完第一轮后，后射的球队连射两球，然后先射的球队再射两球，如此类推。此举是由于多项研究已表明抽中先射的一方会有一定程度的优势，而数据亦指出先射的一方有不少于60%的胜率。因此，在2017年提出试验方案，在部分赛事试行全新的ABBA制互射十二码。但经过两年试验之后，已被证实不是特别受欢迎，主要是因为此方法过于复杂，而足球本身是一项简单和传统的比赛，所以国际足协已经在2019年决定不再使用此方法。喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

索菲·热尔曼（1776 - 1831）14岁时的画像：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

质数基Radical的定义：abc猜想的两种等价定义方式：望月新一证明中的一些难懂的符号：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

拉丁方阵(Latin Square):拉丁方阵中的横贯线(Transversals)：思考题：请你构造一个4阶的拉丁方阵，其中没有横贯线。2个拉丁方阵组成正交拉丁方阵，即希腊拉丁方：10阶的希腊拉丁方，推翻了欧拉的猜想：3个4阶拉丁方组成的正交拉丁方：汉字数独：请你在以上数独中填入不同的汉字，使得每一行、每一列、每个九宫格内，以下所有偏旁和部首都各出现1次：偏旁：木字旁、三点水、竖心旁、单人旁、草字头、提手旁、反犬旁、月字旁、土字旁；部首：同、各、令、且、句、青、亢、包、里。喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

嗒宝·宝可梦游戏：游戏中，每张卡牌上有8个不同的图案，每两张卡牌之间恰有一个相同图案，理论上最多有7^2+7+1=57张卡牌。-----------法诺盘：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

神奇形色牌 / SET 游戏中的81张卡牌：一些构成一个“SET”的例子：上图中：三张牌颜色全同，形状，纹理，数量全不同，因此构成一个SET。上图中：三张牌颜色，形状，纹理，数量全不同，因此构成一个SET。上图中：三张牌颜色、数量全同，形状，纹理全不同，因此构成一个SET。SET游戏的网址：二维SET游戏中的9个点和其中的12条三点共线：可以证明，最多可以找到4个点，其中没有任何三点共线。思考题：嗒宝·宝可梦游戏：游戏中的每张卡牌上有7个不同的精灵。每两张卡牌中，恰有两个相同的精灵。问，这个游戏中最多可以有多少张卡牌？喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

睡美人问题：睡美人将在星期日晚上睡去，而在睡前她被告知实验详情：在她睡去后会由抛硬币来决定她将醒来一次或是两次。如果硬币为正面朝上，她会在星期一醒来并接受采访；如果为反面朝上，她则会在星期一、星期二各醒来一次并分别接受采访。无论硬币正反，她每次睡去时都会被灌下失忆药，不再记得自己是否曾经醒过。同时，她在接受采访时也并不知道这一天是星期几。在她每次接受采访时，都会询问她：“你现在有多确信之前抛出的硬币是正面朝上？”喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

节目中用到的条件概率公式：菲律宾彩票填涂卡，可以看到9的倍数在一条斜线上：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

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"Penney's game"（彭尼游戏）是一种两人对弈的概率游戏，由沃尔特·彭尼（Walter Penney）在1969年创造。这个游戏的规则简单但富有策略性：两位玩家轮流选择一个三位数的硬币序列（例如“正反正”或“反正反”），然后连续投掷一枚硬币，直到其中一位玩家选择的序列出现。出现该序列的玩家获胜。其概率关系图， H表示“正”，T表示“反”：乌比冈湖的骰子（Lake Wobegon Dice）的点数分布：5,3,3,3,3,34,4,4,4,1,14,4,4,4,1,1可以验证，这三颗骰子同时投掷，每个骰子的点数大于（总点数/3）的概率大于1/2。一组非传递骰子的点数分布：第一颗：2、2、4、4、9、9第二颗：1、1、6、6、8、8第三颗：3、3、5、5、7、7喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

超现实数的定义和例子：超现实数的构造过程可视化，从上到下就是超现实数的构造过程：高德纳写的小册子，《研究之美》：思考题，以下是一个围棋官子排局，白先，应该走哪里：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

度量空间中的“稠密”定义：思考题：这个集合在实数集中稠密吗？以上图片来自https://brilliant.org喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

本期回答的问题：数学是什么时候开始把一般化扩展到高维的？他们为什么会在三维里突发奇想到四维及以上呢？正方体的长宽高都垂直于x，就是四维，那五维、六维…也是这么用垂直来描述或定义吗？还有其他的描述方式吗，比如球体怎么样就是四维的按照现在ai的发展速度，10年内能出现普通人家庭使用的机器人吗，陪伴或做家务的？问个思考很久的问题，有真随机能证明有自由意志吗？证明的不应该是随机意识吗？Hash算一种加密吗？谐波分析器是傅立叶级数的产物，那如何计算一个周期函数的傅立叶级数系数？所有周期函数都可以写成傅立叶级数吗？存在这样的非周期函数吗？谢谢。我提一个问题。为什么物理学，或者说宇宙的规律，可以用数学来描述？只是因为数学是一种描述性的工具，还是因为宇宙的本质就是数学？为什么宇宙存在数学常数？大老李好，问一个问题: 为什么整数除以整数都是循环小数为什么数学家喜欢推广，例如将组合数从整数推广到分数？为什么四元数不满足交换律？为什么一般不使用三元数？为什么任意大于一的实数的阿列夫零次方都等于阿列夫一？征集更多问题，直接留言即可喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

两个相似字符串的哈希值是完全不同的： ~ echo 大老李聊数学 | md5Aeeb9bab2b328c3304d88f691d60fe64~ echo 大老王聊数学 | md552454cd51a108d4d79ca049770170a72我下载的一本三国演义小说的md5哈希值：cat 三国演义.txt| md562567e868640dd07494fdd399d618617以上这张图片显示了自身的md5哈希值：MD5 (md5.gif) = f5ca4f935d44b85c431a8bf788c0eaca喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

有限单群周期表（低清晰度版，实体书中有高清版）：“十万个数学为什么”征集问题：可以直接留言提出问题，或者公众号留言。问题必须是数学相关，以“为什么”开头。比如：为什么负负得正？为什么0的阶乘等于1？喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

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我的新书上市了：长度10以内的稀疏尺的例子：长度为135的稀疏尺，它需要21个刻度：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 65, 68, 71, 74, 81, 88, 95, 102, 109, 116, 123, 127, 131, 135}长度为138的稀疏尺，它只需要20个刻度（！）：{0, 1, 2, 3, 7, 14, 21, 28, 43, 58, 73, 88, 103, 111, 119, 127, 135, 136, 137, 138}节目后半段中，我对最小尺和最优尺概念略有混淆，请谅解。我会在公众号中重新发送文稿，澄清概念。喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

斯特林公式：斯特林公式与阶乘和伽马函数的比较：欧拉给出的阶乘扩展定义：拉格朗日给出的伽马函数定义：伽马函数在实数范围内的图像：伽马函数的模（绝对值）在复数范围的图像：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

“一块石头”，一种无周期单密铺形状：一组18块的无周期王氏砖块，及其密铺：彭罗斯镶嵌：彭罗斯本人站在彭罗斯镶嵌的地砖上：“一块石头”中出现的自相似结构：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/

1到5维球体积公式前的系数：n维空间的球体积公式，分n维偶数和奇数两种情况：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 

三体电视剧剧照，不同的位置下打台球，对结果并于影响：曲线长度公式：这个泛函具有坐标平移和旋转下的形式不变形，诺特定理由此推出两点之间的距离是守恒量。喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

设总坦克数为N，采样数量为n，最大序号为x，则：频率论估计公式：N≈x(n+1)/n-1贝叶斯估计：N≈(x-1)(n-1)/(n-2)贝叶斯估计的后验概率质量函数：历史上的估计实例：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

以下图片均由本人在自己的电脑上，由AI生成。火星上骑马的人：穿越银河系的飞船：在云层中飞跃的鲸鱼：印象派的上海：印象派的长城：ChatGPT做司法考选择题（答案仅供参考）： ChatGPT写歌词：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

出租车度量：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

（录制本期节目时，主播感冒没有好透，音色略不同，请见谅）着色多项式的一个说明，图片来自Quanta Magainze：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

2022年，拉马努金奖获得者，唐云清：华中科技大学副研究员，郇真:数学四大顶刊：数学年报：Inventiones Mathematicae：Journal Of The American Mathematical Society：Acta Mathematica:喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]

上图为张益唐参加在线学术沙龙的截图。喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

六边形上的一次自回避随机游走正方形上的一万步的自回避随机游走：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

不同维度下的填充密度上限和下限：正方形格和六边形格：欢迎加入ximi团！

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分球过程的图示：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

本期嘉宾：张益唐，数学家。1978年考入北京大学数学系，1982年本科毕业；1982—1985年，师从著名数学家、北京大学潘承彪教授攻读硕士学位；1992年毕业于美国普渡大学，获博士学位。目前在美国加州UC Santa Barbara大学任教。以下摘自维基百科：（张益唐）于2013年4月17日在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，首次证明了存在无穷多对间隙为有限的质数（具体间隙小于7000万），从而在孪生素数猜想这一数论难题上取得质的突破。半生潦倒，58岁时凭此证明，成为公认的数论学家。其坎坷而传奇的数学旅程在学术圈内外引起反响。（此处省略89个字）学术道路坎坷，长期靠打杂糊口，曾任快餐店收银员、中餐外卖员、汽车旅馆零工等。后经校友帮助获得新罕布什尔大学讲师的职位。未放弃对数论领域的钻研。《数学年刊》通常审稿两年，他的论文因思路清晰严谨在五周之内通过同行评议，创下创刊130年来论文接受时间最快的记录。素数间隙有界证明引来了素数研究方向学者的注意。

超级词典(Hyperwebster)：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

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目前找到的最长的质数等差序列：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

（10只鸽子，放进9个笼子，至少一个笼子里有2只鸽子）喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

围棋中的“两头蛇”，黑棋两个假眼仍然是活棋：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]  

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地日系统的拉格朗日点的图示：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

不同的D情况下的代数整数形式：当D=-7时，其中的代数整数形式是：其中a, b是整数。所以，“2”有一个质因子：另一个质因子m是多少，请听众算算看。请留言更多的问题。喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

内容主要参考自"New Scientist"(新科学家杂志),  2021年,8月28-9月3日, 封面文章: “Quantum Frontiers”。下图是目前主要量子物理诠释流派的比较：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

本期回答的两个问题：1. 为什么正整数集与正偶数集是相等的呢？按对应关系来说1对应2，2对应4……都能一一对应，这个我不太认可，这个属于“人为选择实验数据”了。为什么不是4对应2，8对应4……，这样对应也是全能对应，正整数集还富裕很多数呢。究竟数学上是怎么算出的两集相等呢？按什么规则来判断的呢？2. 关于0.9循环不等于1的一个“证明”，错在哪里？喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/  （欢迎加入Ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue B站: https://space.bilibili.com/423722633 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]   

“标准模型”中的基本粒子：一个二维的“卡拉比——丘流形”投影：喜马拉雅FM：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/ （欢迎加入ximi团）微信关注：dalaoli_shuxue 知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue/ 电邮 ：[email protected]

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